{l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=14$$

$$y=46$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x-30=y-6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-30-y=-6$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 30-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$5x-y=-6+30$$

-6 மற்றும் 30-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 24.

$$5x-y=24$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+18=y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+18-y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$2x-y=-18$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x-y=24$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=y+24$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

y+24-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

பிற சமன்பாடு 2x-y=-18-இல் x-க்கு \frac{24+y}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

\frac{24+y}{5}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

-y-க்கு \frac{2y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{48}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{3}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=46$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}-இல் y-க்கு 46-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

46-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{46+24}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{46}{5} உடன் \frac{24}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=14$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=14,y=46$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x-30=y-6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-30-y=-6$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 30-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$5x-y=-6+30$$

-6 மற்றும் 30-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 24.

$$5x-y=24$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+18=y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+18-y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$2x-y=-18$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=14,y=46$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x-30=y-6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-30-y=-6$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 30-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$5x-y=-6+30$$

-6 மற்றும் 30-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 24.

$$5x-y=24$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+18=y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+18-y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$2x-y=-18$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 5x-y=24-இலிருந்து 2x-y=-18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-2x-y+y=24+18$$

y-க்கு -y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -y மற்றும் y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$5x-2x=24+18$$

-2x-க்கு 5x-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=24+18$$

18-க்கு 24-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=42$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=14$$

2x-y=-18-இல் x-க்கு 14-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2\times 14-y=-18$$

14-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$28-y=-18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 28-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-y=-46$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=46$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=14,y=46$$