{l}{x+y=130}{20x+5y=1925}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=85$$

$$y=45$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=130$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+130$$

பிற சமன்பாடு 20x+5y=1925-இல் x-க்கு -y+130-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

-y+130-ஐ 20 முறை பெருக்கவும்.

$$-20y+2600+5y=1925$$

5y-க்கு -20y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-15y+2600=1925$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2600-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-15y=-675$$

இரு பக்கங்களையும் -15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=45$$

x=-y+130-இல் y-க்கு 45-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-45+130$$

-45-க்கு 130-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=85$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=85,y=45$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=85,y=45$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

x மற்றும் 20x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 20-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

எளிமையாக்கவும்.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 20x+20y=2600-இலிருந்து 20x+5y=1925-ஐக் கழிக்கவும்.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

-20x-க்கு 20x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 20x மற்றும் -20x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$20y-5y=2600-1925$$

-5y-க்கு 20y-ஐக் கூட்டவும்.

$$15y=2600-1925$$

-1925-க்கு 2600-ஐக் கூட்டவும்.

$$15y=675$$

இரு பக்கங்களையும் 15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=45$$

20x+5y=1925-இல் y-க்கு 45-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$20x+5\times 45=1925$$

45-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$20x+225=1925$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 225-ஐக் கழிக்கவும்.

$$20x=1700$$

இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=85$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=85,y=45$$