{l}{x+y=107}{4x+2y=284}hline0k-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 107 } \\ { 4 x + 2 y = 284 } \\ \hline 0 k \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=35$$

$$y=72$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=107,4x+2y=284$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=107$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+107$$

பிற சமன்பாடு 4x+2y=284-இல் x-க்கு -y+107-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-y+107\right)+2y=284$$

-y+107-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-4y+428+2y=284$$

2y-க்கு -4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y+428=284$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 428-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2y=-144$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=72$$

x=-y+107-இல் y-க்கு 72-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-72+107$$

-72-க்கு 107-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=35$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=35,y=72$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y=107,4x+2y=284$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-107+\frac{1}{2}\times 284\\2\times 107-\frac{1}{2}\times 284\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\72\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=35,y=72$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+y=107,4x+2y=284$$

x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4x+4y=4\times 107,4x+2y=284$$

எளிமையாக்கவும்.

$$4x+4y=428,4x+2y=284$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 4x+4y=428-இலிருந்து 4x+2y=284-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x-4x+4y-2y=428-284$$

-4x-க்கு 4x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 4x மற்றும் -4x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$4y-2y=428-284$$

-2y-க்கு 4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=428-284$$

-284-க்கு 428-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=144$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=72$$

4x+2y=284-இல் y-க்கு 72-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x+2\times 72=284$$

72-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$4x+144=284$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 144-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=140$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=35$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=35,y=72$$