{l}{x+y=100}{60x+70y=630}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 630 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=637$$

$$y=-537$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=100$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+100$$

பிற சமன்பாடு 60x+70y=630-இல் x-க்கு -y+100-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$60\left(-y+100\right)+70y=630$$

-y+100-ஐ 60 முறை பெருக்கவும்.

$$-60y+6000+70y=630$$

70y-க்கு -60y-ஐக் கூட்டவும்.

$$10y+6000=630$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6000-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10y=-5370$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-537$$

x=-y+100-இல் y-க்கு -537-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\left(-537\right)+100$$

-537-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$x=537+100$$

537-க்கு 100-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=637$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=637,y=-537$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 630\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 630\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}637\\-537\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=637,y=-537$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

x மற்றும் 60x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 60-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=630$$

எளிமையாக்கவும்.

$$60x+60y=6000,60x+70y=630$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 60x+60y=6000-இலிருந்து 60x+70y=630-ஐக் கழிக்கவும்.

$$60x-60x+60y-70y=6000-630$$

-60x-க்கு 60x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 60x மற்றும் -60x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$60y-70y=6000-630$$

-70y-க்கு 60y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10y=6000-630$$

-630-க்கு 6000-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10y=5370$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-537$$

60x+70y=630-இல் y-க்கு -537-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$60x+70\left(-537\right)=630$$

-537-ஐ 70 முறை பெருக்கவும்.

$$60x-37590=630$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 37590-ஐக் கூட்டவும்.

$$60x=38220$$

இரு பக்கங்களையும் 60-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=637$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=637,y=-537$$