{l}{x+y=1}{3x+y=5}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=2$$

$$y=-1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=1,3x+y=5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+1$$

பிற சமன்பாடு 3x+y=5-இல் x-க்கு -y+1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-y+1\right)+y=5$$

-y+1-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-3y+3+y=5$$

y-க்கு -3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y+3=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2y=2$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-1$$

x=-y+1-இல் y-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\left(-1\right)+1$$

-1-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$x=1+1$$

1-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=-1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y=1,3x+y=5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=2,y=-1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+y=1,3x+y=5$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் x+y=1-இலிருந்து 3x+y=5-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-3x+y-y=1-5$$

-y-க்கு y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் y மற்றும் -y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$x-3x=1-5$$

-3x-க்கு x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=1-5$$

-5-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=-4$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=2$$

3x+y=5-இல் x-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3\times 2+y=5$$

2-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$6+y=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=-1$$