{l}{x+5y=1}{3x+4y=4}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+5y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-5y+1$$

பிற சமன்பாடு 3x+4y=4-இல் x-க்கு -5y+1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-5y+1\right)+4y=4$$

-5y+1-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-15y+3+4y=4$$

4y-க்கு -15y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-11y+3=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-11y=1$$

இரு பக்கங்களையும் -11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{11}$$

x=-5y+1-இல் y-க்கு -\frac{1}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-5\left(-\frac{1}{11}\right)+1$$

-\frac{1}{11}-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{5}{11}+1$$

\frac{5}{11}-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{16}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3x+3\times 5y=3,3x+4y=4$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3x+15y=3,3x+4y=4$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3x+15y=3-இலிருந்து 3x+4y=4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-3x+15y-4y=3-4$$

-3x-க்கு 3x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3x மற்றும் -3x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$15y-4y=3-4$$

-4y-க்கு 15y-ஐக் கூட்டவும்.

$$11y=3-4$$

-4-க்கு 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$11y=-1$$

இரு பக்கங்களையும் 11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{11}$$

3x+4y=4-இல் y-க்கு -\frac{1}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x+4\left(-\frac{1}{11}\right)=4$$

-\frac{1}{11}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$3x-\frac{4}{11}=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{4}{11}-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=\frac{48}{11}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{16}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$