{l}{n+y=4}{2n+3y=12}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { n + y = 4 } \\ { 2 n + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

n, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$y=4$$

$$n=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் n-ஐத் தனிப்படுத்தி n-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$n+y=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$n=-y+4$$

பிற சமன்பாடு 2n+3y=12-இல் n-க்கு -y+4-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-y+4\right)+3y=12$$

-y+4-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-2y+8+3y=12$$

3y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$y+8=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=4$$

n=-y+4-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக n-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$n=-4+4$$

-4-க்கு 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$n=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$n=0,y=4$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 4-12\\-2\times 4+12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் n மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$n=0,y=4$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

n மற்றும் 2n-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2n+2y=2\times 4,2n+3y=12$$

எளிமையாக்கவும்.

$$2n+2y=8,2n+3y=12$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2n+2y=8-இலிருந்து 2n+3y=12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2n-2n+2y-3y=8-12$$

-2n-க்கு 2n-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2n மற்றும் -2n ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2y-3y=8-12$$

-3y-க்கு 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=8-12$$

-12-க்கு 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=-4$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=4$$

2n+3y=12-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக n-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2n+3\times 4=12$$

4-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$2n+12=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2n=0$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$n=0,y=4$$