{l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$mx-y+1-3m=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் -3m+1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$mx-y=3m-1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$mx=y+3m-1$$

இரு பக்கங்களையும் m-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

y+3m-1-ஐ \frac{1}{m} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

பிற சமன்பாடு x+my-3m-1=0-இல் x-க்கு \frac{y-1+3m}{m}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

my-க்கு \frac{y}{m}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

-3m-1-க்கு 3-\frac{1}{m}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-\frac{1}{m}-3m-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

இரு பக்கங்களையும் m+\frac{1}{m}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}-இல் y-க்கு \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}-ஐ \frac{1}{m} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}-க்கு 3-\frac{1}{m}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

mx மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் m-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் mx-y+1-3m=0-இலிருந்து mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-mx-க்கு mx-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் mx மற்றும் -mx ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-m^{2}y-க்கு -y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

m\left(3m+1\right)-க்கு -3m+1-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் -2m+1+3m^{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

இரு பக்கங்களையும் -1-m^{2}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

x+my-3m-1=0-இல் y-க்கு -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

-\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}-ஐ m முறை பெருக்கவும்.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

-3m-1-க்கு -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$