{l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும் (சிக்கலான தீர்வு)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் ny-ஐக் கூட்டவும்.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

இரு பக்கங்களையும் m-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

ny+m^{2}+n^{2}-ஐ \frac{1}{m} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

பிற சமன்பாடு x+y=2m-இல் x-க்கு \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

y-க்கு \frac{ny}{m}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் m+\frac{n^{2}}{m}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

இரு பக்கங்களையும் \frac{m+n}{m}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m-இல் y-க்கு m-n-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m-n-ஐ \frac{n}{m} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n\left(m-n\right)}{m}-க்கு m+\frac{n^{2}}{m}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=m+n$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=m+n,y=m-n$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=m+n,y=m-n$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் m-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

எளிமையாக்கவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}-இலிருந்து mx+my=2m^{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-mx-க்கு mx-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் mx மற்றும் -mx ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-my-க்கு -ny-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-2m^{2}-க்கு m^{2}+n^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

இரு பக்கங்களையும் -m-n-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=m-n$$

x+y=2m-இல் y-க்கு m-n-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+m-n=2m$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் m-n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=m+n$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=m+n,y=m-n$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் ny-ஐக் கூட்டவும்.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

இரு பக்கங்களையும் m-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

ny+m^{2}+n^{2}-ஐ \frac{1}{m} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

பிற சமன்பாடு x+y=2m-இல் x-க்கு \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

y-க்கு \frac{ny}{m}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் m+\frac{n^{2}}{m}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

இரு பக்கங்களையும் \frac{m+n}{m}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m-இல் y-க்கு m-n-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m-n-ஐ \frac{n}{m} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n\left(m-n\right)}{m}-க்கு m+\frac{n^{2}}{m}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=m+n$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=m+n,y=m-n$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=m+n,y=m-n$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் m-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

எளிமையாக்கவும்.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}-இலிருந்து mx+my=2m^{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-mx-க்கு mx-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் mx மற்றும் -mx ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-my-க்கு -ny-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-2m^{2}-க்கு m^{2}+n^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

இரு பக்கங்களையும் -m-n-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=m-n$$

x+y=2m-இல் y-க்கு m-n-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+m-n=2m$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் m-n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=m+n$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=m+n,y=m-n$$