{l}{m+2n=3}{n+2m=3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 3 } \\ { n + 2 m = 3 } \end{array} \right.$$

m, n-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$m=1$$

$$n=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$m+2n=3,2m+n=3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் m-ஐத் தனிப்படுத்தி m-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$m+2n=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$m=-2n+3$$

பிற சமன்பாடு 2m+n=3-இல் m-க்கு -2n+3-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-2n+3\right)+n=3$$

-2n+3-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-4n+6+n=3$$

n-க்கு -4n-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3n+6=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3n=-3$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=1$$

m=-2n+3-இல் n-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$m=-2+3$$

-2-க்கு 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$m=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=1,n=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$m+2n=3,2m+n=3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 2}&-\frac{2}{1-2\times 2}\\-\frac{2}{1-2\times 2}&\frac{1}{1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3+\frac{2}{3}\times 3\\\frac{2}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் m மற்றும் n-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$m=1,n=1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$m+2n=3,2m+n=3$$

m மற்றும் 2m-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2m+2\times 2n=2\times 3,2m+n=3$$

எளிமையாக்கவும்.

$$2m+4n=6,2m+n=3$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2m+4n=6-இலிருந்து 2m+n=3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2m-2m+4n-n=6-3$$

-2m-க்கு 2m-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2m மற்றும் -2m ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$4n-n=6-3$$

-n-க்கு 4n-ஐக் கூட்டவும்.

$$3n=6-3$$

-3-க்கு 6-ஐக் கூட்டவும்.

$$3n=3$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=1$$

2m+n=3-இல் n-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2m+1=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2m=2$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$m=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=1,n=1$$