{l}{cx+y=69}{2x+y=87}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$cx+y=69$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$cx=-y+69$$

இரு பக்கங்களையும் c-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

-y+69-ஐ \frac{1}{c} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

பிற சமன்பாடு 2x+y=87-இல் x-க்கு \frac{69-y}{c}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

\frac{69-y}{c}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

y-க்கு -\frac{2y}{c}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{138}{c}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

இரு பக்கங்களையும் \frac{-2+c}{c}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}-இல் y-க்கு \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

\frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}-ஐ -\frac{1}{c} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

-\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}-க்கு \frac{69}{c}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் cx+y=69-இலிருந்து 2x+y=87-ஐக் கழிக்கவும்.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

-y-க்கு y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் y மற்றும் -y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$cx-2x=69-87$$

-2x-க்கு cx-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

-87-க்கு 69-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

இரு பக்கங்களையும் c-2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

2x+y=87-இல் x-க்கு -\frac{18}{c-2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

-\frac{18}{c-2}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{36}{c-2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$