{l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$80x+160y=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 160y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$80x=-160y+4$$

இரு பக்கங்களையும் 80-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

-160y+4-ஐ \frac{1}{80} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

பிற சமன்பாடு 5600x+5600y=5536-இல் x-க்கு -2y+\frac{1}{20}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

-2y+\frac{1}{20}-ஐ 5600 முறை பெருக்கவும்.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

5600y-க்கு -11200y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-5600y+280=5536$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 280-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5600y=5256$$

இரு பக்கங்களையும் -5600-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{657}{700}$$

x=-2y+\frac{1}{20}-இல் y-க்கு -\frac{657}{700}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

-\frac{657}{700}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{657}{350} உடன் \frac{1}{20}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{1349}{700}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

80x மற்றும் 5600x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5600-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 80-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

எளிமையாக்கவும்.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 448000x+896000y=22400-இலிருந்து 448000x+448000y=442880-ஐக் கழிக்கவும்.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

-448000x-க்கு 448000x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 448000x மற்றும் -448000x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

-448000y-க்கு 896000y-ஐக் கூட்டவும்.

$$448000y=22400-442880$$

-442880-க்கு 22400-ஐக் கூட்டவும்.

$$448000y=-420480$$

இரு பக்கங்களையும் 448000-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{657}{700}$$

5600x+5600y=5536-இல் y-க்கு -\frac{657}{700}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

-\frac{657}{700}-ஐ 5600 முறை பெருக்கவும்.

$$5600x-5256=5536$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5256-ஐக் கூட்டவும்.

$$5600x=10792$$

இரு பக்கங்களையும் 5600-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1349}{700}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$