{l}{8y+x=7}{7y+8x=16}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$8y+x=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8y=-x+7$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

-x+7-ஐ \frac{1}{8} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

பிற சமன்பாடு 7y+8x=16-இல் y-க்கு \frac{-x+7}{8}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

\frac{-x+7}{8}-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

8x-க்கு -\frac{7x}{8}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{49}{8}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{57}{8}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=\frac{79}{57}$$

y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}-இல் x-க்கு \frac{79}{57}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{79}{57}-ஐ -\frac{1}{8} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{79}{456} உடன் \frac{7}{8}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=\frac{40}{57}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

8y மற்றும் 7y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 8-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

எளிமையாக்கவும்.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 56y+7x=49-இலிருந்து 56y+64x=128-ஐக் கழிக்கவும்.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

-56y-க்கு 56y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 56y மற்றும் -56y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$7x-64x=49-128$$

-64x-க்கு 7x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-57x=49-128$$

-128-க்கு 49-ஐக் கூட்டவும்.

$$-57x=-79$$

இரு பக்கங்களையும் -57-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{79}{57}$$

7y+8x=16-இல் x-க்கு \frac{79}{57}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

\frac{79}{57}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{632}{57}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$7y=\frac{280}{57}$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{40}{57}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$