{l}{8a-b=9}{4a+9b=7}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

a, b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a-ஐத் தனிப்படுத்தி a-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$8a-b=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் b-ஐக் கூட்டவும்.

$$8a=b+9$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

b+9-ஐ \frac{1}{8} முறை பெருக்கவும்.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

பிற சமன்பாடு 4a+9b=7-இல் a-க்கு \frac{9+b}{8}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

\frac{9+b}{8}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

9b-க்கு \frac{b}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{9}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{19}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$b=\frac{5}{19}$$

a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}-இல் b-க்கு \frac{5}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{5}{19}-ஐ \frac{1}{8} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{5}{152} உடன் \frac{9}{8}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a=\frac{22}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a மற்றும் b-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

8a மற்றும் 4a-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 8-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

எளிமையாக்கவும்.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 32a-4b=36-இலிருந்து 32a+72b=56-ஐக் கழிக்கவும்.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

-32a-க்கு 32a-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 32a மற்றும் -32a ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-4b-72b=36-56$$

-72b-க்கு -4b-ஐக் கூட்டவும்.

$$-76b=36-56$$

-56-க்கு 36-ஐக் கூட்டவும்.

$$-76b=-20$$

இரு பக்கங்களையும் -76-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{5}{19}$$

4a+9b=7-இல் b-க்கு \frac{5}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

\frac{5}{19}-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{45}{19}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4a=\frac{88}{19}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{22}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$