{l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=6$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8+4x-2y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$4x-2y=-8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 3y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-4x+3y=14$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x-2y=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=2y-8$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

-8+2y-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

பிற சமன்பாடு -4x+3y=14-இல் x-க்கு \frac{y}{2}-2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

\frac{y}{2}-2-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$-2y+8+3y=14$$

3y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$y+8=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=6$$

x=\frac{1}{2}y-2-இல் y-க்கு 6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

6-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=3-2$$

3-க்கு -2-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=6$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8+4x-2y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$4x-2y=-8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 3y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-4x+3y=14$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=6$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8+4x-2y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$4x-2y=-8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 3y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-4x+3y=14$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

4x மற்றும் -4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -16x+8y=32-இலிருந்து -16x+12y=56-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

16x-க்கு -16x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -16x மற்றும் 16x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$8y-12y=32-56$$

-12y-க்கு 8y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4y=32-56$$

-56-க்கு 32-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4y=-24$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=6$$

-4x+3y=14-இல் y-க்கு 6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-4x+3\times 6=14$$

6-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-4x+18=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x=-4$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=6$$