{l}{73x-7y=66}{18x+98y=25}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 73 x - 7 y = 66 } \\ { 18 x + 98 y = 25 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{73}{80}=0.9125$$

$$y=\frac{7}{80}=0.0875$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$73x-7y=66$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 7y-ஐக் கூட்டவும்.

$$73x=7y+66$$

இரு பக்கங்களையும் 73-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{73}\left(7y+66\right)$$

7y+66-ஐ \frac{1}{73} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}$$

பிற சமன்பாடு 18x+98y=25-இல் x-க்கு \frac{7y+66}{73}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$18\left(\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}\right)+98y=25$$

\frac{7y+66}{73}-ஐ 18 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{126}{73}y+\frac{1188}{73}+98y=25$$

98y-க்கு \frac{126y}{73}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7280}{73}y+\frac{1188}{73}=25$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1188}{73}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{7280}{73}y=\frac{637}{73}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{7280}{73}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{7}{80}$$

x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}-இல் y-க்கு \frac{7}{80}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{7}{73}\times \frac{7}{80}+\frac{66}{73}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{7}{80}-ஐ \frac{7}{73} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{49}{5840}+\frac{66}{73}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{49}{5840} உடன் \frac{66}{73}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{73}{80}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&-\frac{-7}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\\-\frac{18}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&\frac{73}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}&\frac{1}{1040}\\-\frac{9}{3640}&\frac{73}{7280}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}\times 66+\frac{1}{1040}\times 25\\-\frac{9}{3640}\times 66+\frac{73}{7280}\times 25\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{80}\\\frac{7}{80}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

73x மற்றும் 18x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 18-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 73-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$18\times 73x+18\left(-7\right)y=18\times 66,73\times 18x+73\times 98y=73\times 25$$

எளிமையாக்கவும்.

$$1314x-126y=1188,1314x+7154y=1825$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 1314x-126y=1188-இலிருந்து 1314x+7154y=1825-ஐக் கழிக்கவும்.

$$1314x-1314x-126y-7154y=1188-1825$$

-1314x-க்கு 1314x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 1314x மற்றும் -1314x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-126y-7154y=1188-1825$$

-7154y-க்கு -126y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7280y=1188-1825$$

-1825-க்கு 1188-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7280y=-637$$

இரு பக்கங்களையும் -7280-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{7}{80}$$

18x+98y=25-இல் y-க்கு \frac{7}{80}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$18x+98\times \frac{7}{80}=25$$

\frac{7}{80}-ஐ 98 முறை பெருக்கவும்.

$$18x+\frac{343}{40}=25$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{343}{40}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$18x=\frac{657}{40}$$

இரு பக்கங்களையும் 18-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{73}{80}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$