{l}{7y+8x=15}{3y+8x=11}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 7 y + 8 x = 15 } \\ { 3 y + 8 x = 11 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$7y+8x=15,3y+8x=11$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$7y+8x=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$7y=-8x+15$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{7}\left(-8x+15\right)$$

-8x+15-ஐ \frac{1}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-\frac{8}{7}x+\frac{15}{7}$$

பிற சமன்பாடு 3y+8x=11-இல் y-க்கு \frac{-8x+15}{7}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{8}{7}x+\frac{15}{7}\right)+8x=11$$

\frac{-8x+15}{7}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{24}{7}x+\frac{45}{7}+8x=11$$

8x-க்கு -\frac{24x}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{32}{7}x+\frac{45}{7}=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{45}{7}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{32}{7}x=\frac{32}{7}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{32}{7}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=1$$

y=-\frac{8}{7}x+\frac{15}{7}-இல் x-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{-8+15}{7}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{8}{7} உடன் \frac{15}{7}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=1,x=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$7y+8x=15,3y+8x=11$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 3}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 3}\\-\frac{3}{7\times 8-8\times 3}&\frac{7}{7\times 8-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{32}&\frac{7}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\11\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 15-\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{32}\times 15+\frac{7}{32}\times 11\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=1,x=1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$7y+8x=15,3y+8x=11$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 7y+8x=15-இலிருந்து 3y+8x=11-ஐக் கழிக்கவும்.

$$7y-3y+8x-8x=15-11$$

-8x-க்கு 8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8x மற்றும் -8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$7y-3y=15-11$$

-3y-க்கு 7y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y=15-11$$

-11-க்கு 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y=4$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=1$$

3y+8x=11-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3+8x=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x=8$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=1,x=1$$