{l}{7x+9y=620}{8x+4y=724}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 9 y = 620 } \\ { 8 x + 4 y = 724 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{1009}{11} = 91\frac{8}{11} \approx 91.727272727$$

$$y = -\frac{27}{11} = -2\frac{5}{11} \approx -2.454545455$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$7x+9y=620,8x+4y=724$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$7x+9y=620$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$7x=-9y+620$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{7}\left(-9y+620\right)$$

-9y+620-ஐ \frac{1}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{9}{7}y+\frac{620}{7}$$

பிற சமன்பாடு 8x+4y=724-இல் x-க்கு \frac{-9y+620}{7}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$8\left(-\frac{9}{7}y+\frac{620}{7}\right)+4y=724$$

\frac{-9y+620}{7}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{4960}{7}+4y=724$$

4y-க்கு -\frac{72y}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{44}{7}y+\frac{4960}{7}=724$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{4960}{7}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{44}{7}y=\frac{108}{7}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{44}{7}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{27}{11}$$

x=-\frac{9}{7}y+\frac{620}{7}-இல் y-க்கு -\frac{27}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{9}{7}\left(-\frac{27}{11}\right)+\frac{620}{7}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{27}{11}-ஐ -\frac{9}{7} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{243}{77}+\frac{620}{7}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{243}{77} உடன் \frac{620}{7}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{1009}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{1009}{11},y=-\frac{27}{11}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$7x+9y=620,8x+4y=724$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&9\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-9\times 8}&-\frac{9}{7\times 4-9\times 8}\\-\frac{8}{7\times 4-9\times 8}&\frac{7}{7\times 4-9\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{9}{44}\\\frac{2}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}620\\724\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 620+\frac{9}{44}\times 724\\\frac{2}{11}\times 620-\frac{7}{44}\times 724\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1009}{11}\\-\frac{27}{11}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{1009}{11},y=-\frac{27}{11}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$7x+9y=620,8x+4y=724$$

7x மற்றும் 8x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 8-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$8\times 7x+8\times 9y=8\times 620,7\times 8x+7\times 4y=7\times 724$$

எளிமையாக்கவும்.

$$56x+72y=4960,56x+28y=5068$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 56x+72y=4960-இலிருந்து 56x+28y=5068-ஐக் கழிக்கவும்.

$$56x-56x+72y-28y=4960-5068$$

-56x-க்கு 56x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 56x மற்றும் -56x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$72y-28y=4960-5068$$

-28y-க்கு 72y-ஐக் கூட்டவும்.

$$44y=4960-5068$$

-5068-க்கு 4960-ஐக் கூட்டவும்.

$$44y=-108$$

இரு பக்கங்களையும் 44-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{27}{11}$$

8x+4y=724-இல் y-க்கு -\frac{27}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$8x+4\left(-\frac{27}{11}\right)=724$$

-\frac{27}{11}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$8x-\frac{108}{11}=724$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{108}{11}-ஐக் கூட்டவும்.

$$8x=\frac{8072}{11}$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1009}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{1009}{11},y=-\frac{27}{11}$$