{l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-7$$

$$y=8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$7x+8y=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$7x=-8y+15$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

-8y+15-ஐ \frac{1}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

பிற சமன்பாடு 9x+8y=1-இல் x-க்கு \frac{-8y+15}{7}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

\frac{-8y+15}{7}-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

8y-க்கு -\frac{72y}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{135}{7}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{16}{7}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=8$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}-இல் y-க்கு 8-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

8-ஐ -\frac{8}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{64}{7} உடன் \frac{15}{7}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-7$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-7,y=8$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-7,y=8$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 7x+8y=15-இலிருந்து 9x+8y=1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

-8y-க்கு 8y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8y மற்றும் -8y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$7x-9x=15-1$$

-9x-க்கு 7x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=15-1$$

-1-க்கு 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=14$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-7$$

9x+8y=1-இல் x-க்கு -7-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

-7-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$-63+8y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 63-ஐக் கூட்டவும்.

$$8y=64$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-7,y=8$$