{l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$7x+5y=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$7x=-5y+12$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

-5y+12-ஐ \frac{1}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

பிற சமன்பாடு 8x-2y=7-இல் x-க்கு \frac{-5y+12}{7}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

\frac{-5y+12}{7}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

-2y-க்கு -\frac{40y}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{96}{7}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{54}{7}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{47}{54}$$

x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}-இல் y-க்கு \frac{47}{54}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{47}{54}-ஐ -\frac{5}{7} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{235}{378} உடன் \frac{12}{7}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{59}{54}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

7x மற்றும் 8x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 8-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

எளிமையாக்கவும்.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 56x+40y=96-இலிருந்து 56x-14y=49-ஐக் கழிக்கவும்.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

-56x-க்கு 56x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 56x மற்றும் -56x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$40y+14y=96-49$$

14y-க்கு 40y-ஐக் கூட்டவும்.

$$54y=96-49$$

-49-க்கு 96-ஐக் கூட்டவும்.

$$54y=47$$

இரு பக்கங்களையும் 54-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{47}{54}$$

8x-2y=7-இல் y-க்கு \frac{47}{54}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

\frac{47}{54}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{47}{27}-ஐக் கூட்டவும்.

$$8x=\frac{236}{27}$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{59}{54}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$