{l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

w, z-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$z=1$$

$$w=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2z-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5w-2z=8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் w-ஐத் தனிப்படுத்தி w-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$7w+2z=16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2z-ஐக் கழிக்கவும்.

$$7w=-2z+16$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

-2z+16-ஐ \frac{1}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

பிற சமன்பாடு 5w-2z=8-இல் w-க்கு \frac{-2z+16}{7}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

\frac{-2z+16}{7}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

-2z-க்கு -\frac{10z}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{80}{7}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{24}{7}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$z=1$$

w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}-இல் z-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக w-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{2}{7} உடன் \frac{16}{7}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$w=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$w=2,z=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2z-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5w-2z=8$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் w மற்றும் z-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$w=2,z=1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2z-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5w-2z=8$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

7w மற்றும் 5w-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

எளிமையாக்கவும்.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 35w+10z=80-இலிருந்து 35w-14z=56-ஐக் கழிக்கவும்.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

-35w-க்கு 35w-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 35w மற்றும் -35w ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$10z+14z=80-56$$

14z-க்கு 10z-ஐக் கூட்டவும்.

$$24z=80-56$$

-56-க்கு 80-ஐக் கூட்டவும்.

$$24z=24$$

இரு பக்கங்களையும் 24-ஆல் வகுக்கவும்.

$$z=1$$

5w-2z=8-இல் z-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக w-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5w-2=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$5w=10$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$w=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$w=2,z=1$$