{l}{6x+y=-28}{-6x-8y=-49}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + y = - 28 } \\ { - 6 x - 8 y = - 49 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6.5$$

$$y=11$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$6x+y=-28,-6x-8y=-49$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$6x+y=-28$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x=-y-28$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y-28\right)$$

-y-28-ஐ \frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{6}y-\frac{14}{3}$$

பிற சமன்பாடு -6x-8y=-49-இல் x-க்கு -\frac{y}{6}-\frac{14}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-6\left(-\frac{1}{6}y-\frac{14}{3}\right)-8y=-49$$

-\frac{y}{6}-\frac{14}{3}-ஐ -6 முறை பெருக்கவும்.

$$y+28-8y=-49$$

-8y-க்கு y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y+28=-49$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 28-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7y=-77$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=11$$

x=-\frac{1}{6}y-\frac{14}{3}-இல் y-க்கு 11-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{6}\times 11-\frac{14}{3}$$

11-ஐ -\frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{11}{6}-\frac{14}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{11}{6} உடன் -\frac{14}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{13}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{13}{2},y=11$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x+y=-28,-6x-8y=-49$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-6\right)}&-\frac{1}{6\left(-8\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{6\left(-8\right)-\left(-6\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}&\frac{1}{42}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}\left(-28\right)+\frac{1}{42}\left(-49\right)\\-\frac{1}{7}\left(-28\right)-\frac{1}{7}\left(-49\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2}\\11\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{13}{2},y=11$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$6x+y=-28,-6x-8y=-49$$

6x மற்றும் -6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-6\times 6x-6y=-6\left(-28\right),6\left(-6\right)x+6\left(-8\right)y=6\left(-49\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-36x-6y=168,-36x-48y=-294$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -36x-6y=168-இலிருந்து -36x-48y=-294-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-36x+36x-6y+48y=168+294$$

36x-க்கு -36x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -36x மற்றும் 36x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-6y+48y=168+294$$

48y-க்கு -6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$42y=168+294$$

294-க்கு 168-ஐக் கூட்டவும்.

$$42y=462$$

இரு பக்கங்களையும் 42-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=11$$

-6x-8y=-49-இல் y-க்கு 11-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-6x-8\times 11=-49$$

11-ஐ -8 முறை பெருக்கவும்.

$$-6x-88=-49$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 88-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6x=39$$

இரு பக்கங்களையும் -6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{13}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{13}{2},y=11$$