{l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$6x+3y=25.95$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x=-3y+25.95$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

-3y+25.95-ஐ \frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

பிற சமன்பாடு 4x+6y=26.7-இல் x-க்கு -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

-\frac{y}{2}+\frac{173}{40}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

6y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{173}{10}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y=\frac{47}{5}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{47}{20}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}-இல் y-க்கு \frac{47}{20}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{47}{20}-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{47}{40} உடன் \frac{173}{40}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{63}{20}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

6x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

எளிமையாக்கவும்.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 24x+12y=103.8-இலிருந்து 24x+36y=160.2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

-24x-க்கு 24x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 24x மற்றும் -24x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

-36y-க்கு 12y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -160.2 உடன் 103.8-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$-24y=-56.4$$

இரு பக்கங்களையும் -24-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{47}{20}$$

4x+6y=26.7-இல் y-க்கு \frac{47}{20}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

\frac{47}{20}-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{141}{10}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=\frac{63}{5}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{63}{20}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$