{l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

m, n-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் m-ஐத் தனிப்படுத்தி m-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$6m-5n=-9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5n-ஐக் கூட்டவும்.

$$6m=5n-9$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

5n-9-ஐ \frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

பிற சமன்பாடு 4m+3n=65-இல் m-க்கு \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

\frac{5n}{6}-\frac{3}{2}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

3n-க்கு \frac{10n}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 6-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{19}{3}n=71$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{19}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$n=\frac{213}{19}$$

m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}-இல் n-க்கு \frac{213}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{213}{19}-ஐ \frac{5}{6} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{355}{38} உடன் -\frac{3}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$m=\frac{149}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் m மற்றும் n-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

6m மற்றும் 4m-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

எளிமையாக்கவும்.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 24m-20n=-36-இலிருந்து 24m+18n=390-ஐக் கழிக்கவும்.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

-24m-க்கு 24m-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 24m மற்றும் -24m ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-20n-18n=-36-390$$

-18n-க்கு -20n-ஐக் கூட்டவும்.

$$-38n=-36-390$$

-390-க்கு -36-ஐக் கூட்டவும்.

$$-38n=-426$$

இரு பக்கங்களையும் -38-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=\frac{213}{19}$$

4m+3n=65-இல் n-க்கு \frac{213}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

\frac{213}{19}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{639}{19}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4m=\frac{596}{19}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$m=\frac{149}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$