{l}{56x+4y=19}{4y+x=2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 56 x + 4 y = 19 } \\ { 4 y + x = 2 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{17}{55}\approx 0.309090909$$

$$y=\frac{93}{220}\approx 0.422727273$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$56x+4y=19,x+4y=2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$56x+4y=19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$56x=-4y+19$$

இரு பக்கங்களையும் 56-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{56}\left(-4y+19\right)$$

-4y+19-ஐ \frac{1}{56} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{14}y+\frac{19}{56}$$

பிற சமன்பாடு x+4y=2-இல் x-க்கு -\frac{y}{14}+\frac{19}{56}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{1}{14}y+\frac{19}{56}+4y=2$$

4y-க்கு -\frac{y}{14}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{55}{14}y+\frac{19}{56}=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{19}{56}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{55}{14}y=\frac{93}{56}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{55}{14}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{93}{220}$$

x=-\frac{1}{14}y+\frac{19}{56}-இல் y-க்கு \frac{93}{220}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{14}\times \frac{93}{220}+\frac{19}{56}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{93}{220}-ஐ -\frac{1}{14} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{93}{3080}+\frac{19}{56}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{93}{3080} உடன் \frac{19}{56}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{17}{55}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{17}{55},y=\frac{93}{220}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$56x+4y=19,x+4y=2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}56&4\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}56&4\\1&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}56&4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56&4\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}56&4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}56&4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}56&4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{56\times 4-4}&-\frac{4}{56\times 4-4}\\-\frac{1}{56\times 4-4}&\frac{56}{56\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{55}&-\frac{1}{55}\\-\frac{1}{220}&\frac{14}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{55}\times 19-\frac{1}{55}\times 2\\-\frac{1}{220}\times 19+\frac{14}{55}\times 2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{55}\\\frac{93}{220}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{17}{55},y=\frac{93}{220}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$56x+4y=19,x+4y=2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 56x+4y=19-இலிருந்து x+4y=2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$56x-x+4y-4y=19-2$$

-4y-க்கு 4y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 4y மற்றும் -4y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$56x-x=19-2$$

-x-க்கு 56x-ஐக் கூட்டவும்.

$$55x=19-2$$

-2-க்கு 19-ஐக் கூட்டவும்.

$$55x=17$$

இரு பக்கங்களையும் 55-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{17}{55}$$

x+4y=2-இல் x-க்கு \frac{17}{55}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$\frac{17}{55}+4y=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{17}{55}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y=\frac{93}{55}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{17}{55},y=\frac{93}{220}$$