{l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x-3y-4=34$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x-3y=38$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=3y+38$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

3y+38-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

பிற சமன்பாடு -3x+5y-18=34-இல் x-க்கு \frac{3y+38}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

\frac{3y+38}{5}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

5y-க்கு -\frac{9y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

-18-க்கு -\frac{114}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{204}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{16}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{187}{8}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}-இல் y-க்கு \frac{187}{8}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{187}{8}-ஐ \frac{3}{5} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{561}{40} உடன் \frac{38}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{173}{8}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

5x மற்றும் -3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -15x+9y+12=-102-இலிருந்து -15x+25y-90=170-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

15x-க்கு -15x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -15x மற்றும் 15x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

-25y-க்கு 9y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16y+12+90=-102-170$$

90-க்கு 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16y+102=-102-170$$

-170-க்கு -102-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16y+102=-272$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 102-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-16y=-374$$

இரு பக்கங்களையும் -16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{187}{8}$$

-3x+5y-18=34-இல் y-க்கு \frac{187}{8}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

\frac{187}{8}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

-18-க்கு \frac{935}{8}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{791}{8}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{173}{8}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$