{l}{5x-3y-2=0}{4x+7y+3=0}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 2 = 0 } \\ { 4 x + 7 y + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x-3y-2=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x-3y=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=3y+2$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

3y+2-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

பிற சமன்பாடு 4x+7y+3=0-இல் x-க்கு \frac{3y+2}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y+3=0$$

\frac{3y+2}{5}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y+3=0$$

7y-க்கு \frac{12y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}+3=0$$

3-க்கு \frac{8}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{47}{5}y+\frac{23}{5}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{23}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{47}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{23}{47}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}-இல் y-க்கு -\frac{23}{47}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{23}{47}-ஐ \frac{3}{5} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{69}{235} உடன் \frac{2}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{5}{47}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

5x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y+4\left(-2\right)=0,5\times 4x+5\times 7y+5\times 3=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$20x-12y-8=0,20x+35y+15=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 20x-12y-8=0-இலிருந்து 20x+35y+15=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$20x-20x-12y-35y-8-15=0$$

-20x-க்கு 20x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 20x மற்றும் -20x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-12y-35y-8-15=0$$

-35y-க்கு -12y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-47y-8-15=0$$

-15-க்கு -8-ஐக் கூட்டவும்.

$$-47y-23=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 23-ஐக் கூட்டவும்.

$$-47y=23$$

இரு பக்கங்களையும் -47-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{23}{47}$$

4x+7y+3=0-இல் y-க்கு -\frac{23}{47}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)+3=0$$

-\frac{23}{47}-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$4x-\frac{161}{47}+3=0$$

3-க்கு -\frac{161}{47}-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x-\frac{20}{47}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{20}{47}-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=\frac{20}{47}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{5}{47}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$