{l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=4$$

$$y=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-2y=16$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7x+2y=32$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x-2y=16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=2y+16$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

16+2y-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

பிற சமன்பாடு 7x+2y=32-இல் x-க்கு \frac{16+2y}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

\frac{16+2y}{5}-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

2y-க்கு \frac{14y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{112}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{24}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=2$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

2-ஐ \frac{2}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{4}{5} உடன் \frac{16}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-2y=16$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7x+2y=32$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=4,y=2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-2y=16$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7x+2y=32$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

5x மற்றும் 7x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

எளிமையாக்கவும்.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 35x-14y=112-இலிருந்து 35x+10y=160-ஐக் கழிக்கவும்.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

-35x-க்கு 35x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 35x மற்றும் -35x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-14y-10y=112-160$$

-10y-க்கு -14y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-24y=112-160$$

-160-க்கு 112-ஐக் கூட்டவும்.

$$-24y=-48$$

இரு பக்கங்களையும் -24-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=2$$

7x+2y=32-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$7x+2\times 2=32$$

2-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$7x+4=32$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$7x=28$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=2$$