{l}{5x+5y=14}{2x+4y=10}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x+5y=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=-5y+14$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

-5y+14-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

பிற சமன்பாடு 2x+4y=10-இல் x-க்கு -y+\frac{14}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

-y+\frac{14}{5}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

4y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{28}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y=\frac{22}{5}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{11}{5}$$

x=-y+\frac{14}{5}-இல் y-க்கு \frac{11}{5}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

\frac{11}{5}-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{11}{5} உடன் \frac{14}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{3}{5}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

5x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

எளிமையாக்கவும்.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 10x+10y=28-இலிருந்து 10x+20y=50-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

-10x-க்கு 10x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 10x மற்றும் -10x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$10y-20y=28-50$$

-20y-க்கு 10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10y=28-50$$

-50-க்கு 28-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10y=-22$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{11}{5}$$

2x+4y=10-இல் y-க்கு \frac{11}{5}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

\frac{11}{5}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{44}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=\frac{6}{5}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{3}{5}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$