{l}{5x+3y=-22}{-3x-3y=18}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 22 } \\ { - 3 x - 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-2$$

$$y=-4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x+3y=-22,-3x-3y=18$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x+3y=-22$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=-3y-22$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y-22\right)$$

-3y-22-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{22}{5}$$

பிற சமன்பாடு -3x-3y=18-இல் x-க்கு \frac{-3y-22}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y-\frac{22}{5}\right)-3y=18$$

\frac{-3y-22}{5}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{9}{5}y+\frac{66}{5}-3y=18$$

-3y-க்கு \frac{9y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{66}{5}=18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{66}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{6}{5}y=\frac{24}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{6}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-4$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{22}{5}-இல் y-க்கு -4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-4\right)-\frac{22}{5}$$

-4-ஐ -\frac{3}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{12-22}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{12}{5} உடன் -\frac{22}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-2,y=-4$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x+3y=-22,-3x-3y=18$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-22\right)+\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{1}{2}\left(-22\right)-\frac{5}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-2,y=-4$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x+3y=-22,-3x-3y=18$$

5x மற்றும் -3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3\times 5x-3\times 3y=-3\left(-22\right),5\left(-3\right)x+5\left(-3\right)y=5\times 18$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-15x-9y=66,-15x-15y=90$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -15x-9y=66-இலிருந்து -15x-15y=90-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-15x+15x-9y+15y=66-90$$

15x-க்கு -15x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -15x மற்றும் 15x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-9y+15y=66-90$$

15y-க்கு -9y-ஐக் கூட்டவும்.

$$6y=66-90$$

-90-க்கு 66-ஐக் கூட்டவும்.

$$6y=-24$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-4$$

-3x-3y=18-இல் y-க்கு -4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3x-3\left(-4\right)=18$$

-4-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$-3x+12=18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x=6$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-2,y=-4$$