{l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-2$$

$$y=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 5-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x+10=4y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+10-4y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$5x-4y=-10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ y-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3y-12=6x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-12-6x=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 12-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$3y-6x=12$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x-4y=-10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=4y-10$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

4y-10-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

பிற சமன்பாடு -6x+3y=12-இல் x-க்கு \frac{4y}{5}-2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

\frac{4y}{5}-2-ஐ -6 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

3y-க்கு -\frac{24y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{9}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=0$$

x=\frac{4}{5}y-2-இல் y-க்கு 0-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-2,y=0$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 5-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x+10=4y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+10-4y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$5x-4y=-10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ y-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3y-12=6x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-12-6x=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 12-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$3y-6x=12$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-2,y=0$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 5-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x+10=4y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+10-4y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$5x-4y=-10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ y-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3y-12=6x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-12-6x=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 12-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$3y-6x=12$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

5x மற்றும் -6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -30x+24y=60-இலிருந்து -30x+15y=60-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

30x-க்கு -30x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -30x மற்றும் 30x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$24y-15y=60-60$$

-15y-க்கு 24y-ஐக் கூட்டவும்.

$$9y=60-60$$

-60-க்கு 60-ஐக் கூட்டவும்.

$$9y=0$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=0$$

-6x+3y=12-இல் y-க்கு 0-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-6x=12$$

இரு பக்கங்களையும் -6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-2,y=0$$