{l}{40x+30y=500}{60x+15y=600}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$40x+30y=500$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 30y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$40x=-30y+500$$

இரு பக்கங்களையும் 40-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

-30y+500-ஐ \frac{1}{40} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

பிற சமன்பாடு 60x+15y=600-இல் x-க்கு -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

-\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}-ஐ 60 முறை பெருக்கவும்.

$$-45y+750+15y=600$$

15y-க்கு -45y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-30y+750=600$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 750-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-30y=-150$$

இரு பக்கங்களையும் -30-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

5-ஐ -\frac{3}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{15}{4} உடன் \frac{25}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{35}{4}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

40x மற்றும் 60x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 60-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 40-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

எளிமையாக்கவும்.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2400x+1800y=30000-இலிருந்து 2400x+600y=24000-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

-2400x-க்கு 2400x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2400x மற்றும் -2400x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$1800y-600y=30000-24000$$

-600y-க்கு 1800y-ஐக் கூட்டவும்.

$$1200y=30000-24000$$

-24000-க்கு 30000-ஐக் கூட்டவும்.

$$1200y=6000$$

இரு பக்கங்களையும் 1200-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

60x+15y=600-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$60x+15\times 5=600$$

5-ஐ 15 முறை பெருக்கவும்.

$$60x+75=600$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 75-ஐக் கழிக்கவும்.

$$60x=525$$

இரு பக்கங்களையும் 60-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{35}{4}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$