{l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=6$$

$$y=-10$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 4y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x+4y=-34$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4y-5x=-70$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5x-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y=5x-70$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

-70+5x-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

பிற சமன்பாடு 4y+x=-34-இல் y-க்கு -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

-\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$5x-70+x=-34$$

x-க்கு 5x-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x-70=-34$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 70-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=36$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=6$$

y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}-இல் x-க்கு 6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

6-ஐ \frac{5}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{15}{2} உடன் -\frac{35}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=-10$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-10,x=6$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 4y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x+4y=-34$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=-10,x=6$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 4y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x+4y=-34$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 4y-5x=-70-இலிருந்து 4y+x=-34-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

-4y-க்கு 4y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 4y மற்றும் -4y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-5x-x=-70+34$$

-x-க்கு -5x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6x=-70+34$$

34-க்கு -70-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6x=-36$$

இரு பக்கங்களையும் -6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=6$$

4y+x=-34-இல் x-க்கு 6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4y+6=-34$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y=-40$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-10$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-10,x=6$$