{l}{4x-y=5}{3x+3y=30}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 5 } \\ { 3 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=7$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x-y=5,3x+3y=30$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x-y=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=y+5$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

y+5-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

பிற சமன்பாடு 3x+3y=30-இல் x-க்கு \frac{5+y}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+3y=30$$

\frac{5+y}{4}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}+3y=30$$

3y-க்கு \frac{3y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{4}=30$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{15}{4}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{15}{4}y=\frac{105}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{15}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=7$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}-இல் y-க்கு 7-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{4}\times 7+\frac{5}{4}$$

7-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{7}{4} உடன் \frac{5}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=7$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x-y=5,3x+3y=30$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 3-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 3-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{15}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{15}\times 30\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{15}\times 30\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=7$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x-y=5,3x+3y=30$$

4x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\times 3y=4\times 30$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12x-3y=15,12x+12y=120$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12x-3y=15-இலிருந்து 12x+12y=120-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12x-12x-3y-12y=15-120$$

-12x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12x மற்றும் -12x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-3y-12y=15-120$$

-12y-க்கு -3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-15y=15-120$$

-120-க்கு 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$-15y=-105$$

இரு பக்கங்களையும் -15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=7$$

3x+3y=30-இல் y-க்கு 7-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x+3\times 7=30$$

7-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$3x+21=30$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 21-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=9$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=7$$