{l}{4x+y=15}{5y+19x=30}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=45$$

$$y=-165$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+y=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-y+15$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

-y+15-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

பிற சமன்பாடு 19x+5y=30-இல் x-க்கு \frac{-y+15}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

\frac{-y+15}{4}-ஐ 19 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

5y-க்கு -\frac{19y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{285}{4}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=-165$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}-இல் y-க்கு -165-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

-165-ஐ -\frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{165}{4} உடன் \frac{15}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=45$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=45,y=-165$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=45,y=-165$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x மற்றும் 19x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 19-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

எளிமையாக்கவும்.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 76x+19y=285-இலிருந்து 76x+20y=120-ஐக் கழிக்கவும்.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

-76x-க்கு 76x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 76x மற்றும் -76x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$19y-20y=285-120$$

-20y-க்கு 19y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=285-120$$

-120-க்கு 285-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=165$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-165$$

19x+5y=30-இல் y-க்கு -165-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

-165-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$19x-825=30$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 825-ஐக் கூட்டவும்.

$$19x=855$$

இரு பக்கங்களையும் 19-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=45$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=45,y=-165$$