{l}{4x+9y=13}{3x+2y=7}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 13 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{37}{19} = 1\frac{18}{19} \approx 1.947368421$$

$$y=\frac{11}{19}\approx 0.578947368$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+9y=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-9y+13$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+13\right)$$

-9y+13-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}$$

பிற சமன்பாடு 3x+2y=7-இல் x-க்கு \frac{-9y+13}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}\right)+2y=7$$

\frac{-9y+13}{4}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{27}{4}y+\frac{39}{4}+2y=7$$

2y-க்கு -\frac{27y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{39}{4}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{39}{4}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{19}{4}y=-\frac{11}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{19}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{11}{19}$$

x=-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}-இல் y-க்கு \frac{11}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{9}{4}\times \frac{11}{19}+\frac{13}{4}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{11}{19}-ஐ -\frac{9}{4} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{99}{76}+\frac{13}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{99}{76} உடன் \frac{13}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{37}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-9\times 3}&-\frac{9}{4\times 2-9\times 3}\\-\frac{3}{4\times 2-9\times 3}&\frac{4}{4\times 2-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{9}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 13+\frac{9}{19}\times 7\\\frac{3}{19}\times 13-\frac{4}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{19}\\\frac{11}{19}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

4x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 4x+3\times 9y=3\times 13,4\times 3x+4\times 2y=4\times 7$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12x+27y=39,12x+8y=28$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12x+27y=39-இலிருந்து 12x+8y=28-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12x-12x+27y-8y=39-28$$

-12x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12x மற்றும் -12x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$27y-8y=39-28$$

-8y-க்கு 27y-ஐக் கூட்டவும்.

$$19y=39-28$$

-28-க்கு 39-ஐக் கூட்டவும்.

$$19y=11$$

இரு பக்கங்களையும் 19-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{11}{19}$$

3x+2y=7-இல் y-க்கு \frac{11}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x+2\times \frac{11}{19}=7$$

\frac{11}{19}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$3x+\frac{22}{19}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{22}{19}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=\frac{111}{19}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{37}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$