{l}{4x+6y=0}{x-5y=-2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 6 y = 0 } \\ { x - 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{6}{13}\approx -0.461538462$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+6y=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-6y$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)y$$

-6y-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{2}y$$

பிற சமன்பாடு x-5y=-2-இல் x-க்கு -\frac{3y}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{3}{2}y-5y=-2$$

-5y-க்கு -\frac{3y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{13}{2}y=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{13}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{4}{13}$$

x=-\frac{3}{2}y-இல் y-க்கு \frac{4}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{13}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{4}{13}-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{6}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-6}&-\frac{6}{4\left(-5\right)-6}\\-\frac{1}{4\left(-5\right)-6}&\frac{4}{4\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}&\frac{3}{13}\\\frac{1}{26}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\left(-2\right)\\-\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

4x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4x+6y=0,4x+4\left(-5\right)y=4\left(-2\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$4x+6y=0,4x-20y=-8$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 4x+6y=0-இலிருந்து 4x-20y=-8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x-4x+6y+20y=8$$

-4x-க்கு 4x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 4x மற்றும் -4x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$6y+20y=8$$

20y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$26y=8$$

இரு பக்கங்களையும் 26-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{4}{13}$$

x-5y=-2-இல் y-க்கு \frac{4}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x-5\times \frac{4}{13}=-2$$

\frac{4}{13}-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$x-\frac{20}{13}=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{20}{13}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{6}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$