{l}{4x+5y=6}{6x-7y=-20}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { 6 x - 7 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-1$$

$$y=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+5y=6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-5y+6$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

-5y+6-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

பிற சமன்பாடு 6x-7y=-20-இல் x-க்கு -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}\right)-7y=-20$$

-\frac{5y}{4}+\frac{3}{2}-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{15}{2}y+9-7y=-20$$

-7y-க்கு -\frac{15y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{29}{2}y+9=-20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{29}{2}y=-29$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{29}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=2$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{4}\times 2+\frac{3}{2}$$

2-ஐ -\frac{5}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-5+3}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{5}{2} உடன் \frac{3}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-1,y=2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 6}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-7\right)-5\times 6}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{58}&\frac{5}{58}\\\frac{3}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{58}\times 6+\frac{5}{58}\left(-20\right)\\\frac{3}{29}\times 6-\frac{2}{29}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-1,y=2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

4x மற்றும் 6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6\times 4x+6\times 5y=6\times 6,4\times 6x+4\left(-7\right)y=4\left(-20\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$24x+30y=36,24x-28y=-80$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 24x+30y=36-இலிருந்து 24x-28y=-80-ஐக் கழிக்கவும்.

$$24x-24x+30y+28y=36+80$$

-24x-க்கு 24x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 24x மற்றும் -24x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$30y+28y=36+80$$

28y-க்கு 30y-ஐக் கூட்டவும்.

$$58y=36+80$$

80-க்கு 36-ஐக் கூட்டவும்.

$$58y=116$$

இரு பக்கங்களையும் 58-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=2$$

6x-7y=-20-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6x-7\times 2=-20$$

2-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$6x-14=-20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 14-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=-6$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-1,y=2$$