{l}{4x+12y=-24}{-8x-20y=36}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 12 y = - 24 } \\ { - 8 x - 20 y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=-3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+12y=-24$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-12y-24$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-12y-24\right)$$

-12y-24-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-3y-6$$

பிற சமன்பாடு -8x-20y=36-இல் x-க்கு -3y-6-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-8\left(-3y-6\right)-20y=36$$

-3y-6-ஐ -8 முறை பெருக்கவும்.

$$24y+48-20y=36$$

-20y-க்கு 24y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y+48=36$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 48-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y=-12$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-3$$

x=-3y-6-இல் y-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-3\left(-3\right)-6$$

-3-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$x=9-6$$

9-க்கு -6-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=-3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}&-\frac{12}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}&\frac{4}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\left(-24\right)-\frac{3}{4}\times 36\\\frac{1}{2}\left(-24\right)+\frac{1}{4}\times 36\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=-3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

4x மற்றும் -8x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -8-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-8\times 4x-8\times 12y=-8\left(-24\right),4\left(-8\right)x+4\left(-20\right)y=4\times 36$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-32x-96y=192,-32x-80y=144$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -32x-96y=192-இலிருந்து -32x-80y=144-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-32x+32x-96y+80y=192-144$$

32x-க்கு -32x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -32x மற்றும் 32x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-96y+80y=192-144$$

80y-க்கு -96y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16y=192-144$$

-144-க்கு 192-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16y=48$$

இரு பக்கங்களையும் -16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-3$$

-8x-20y=36-இல் y-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-8x-20\left(-3\right)=36$$

-3-ஐ -20 முறை பெருக்கவும்.

$$-8x+60=36$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 60-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-8x=-24$$

இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=-3$$