{l}{4g-2h=-4}{12=h-4g}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 4 g - 2 h = - 4 } \\ { 12 = h - 4 g } \end{array} \right.$$

g, h-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$g=-5$$

$$h=-8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$h-4g=12$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4g-2h=-4,-4g+h=12$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் g-ஐத் தனிப்படுத்தி g-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4g-2h=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2h-ஐக் கூட்டவும்.

$$4g=2h-4$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$g=\frac{1}{4}\left(2h-4\right)$$

-4+2h-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$g=\frac{1}{2}h-1$$

பிற சமன்பாடு -4g+h=12-இல் g-க்கு \frac{h}{2}-1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-4\left(\frac{1}{2}h-1\right)+h=12$$

\frac{h}{2}-1-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$-2h+4+h=12$$

h-க்கு -2h-ஐக் கூட்டவும்.

$$-h+4=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-h=8$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$h=-8$$

g=\frac{1}{2}h-1-இல் h-க்கு -8-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக g-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$g=\frac{1}{2}\left(-8\right)-1$$

-8-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$g=-4-1$$

-4-க்கு -1-ஐக் கூட்டவும்.

$$g=-5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$g=-5,h=-8$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$h-4g=12$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4g-2h=-4,-4g+h=12$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-4\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\left(-4\right)-12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}g\\h\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-8\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் g மற்றும் h-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$g=-5,h=-8$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$h-4g=12$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4g-2h=-4,-4g+h=12$$

4g மற்றும் -4g-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-4\times 4g-4\left(-2\right)h=-4\left(-4\right),4\left(-4\right)g+4h=4\times 12$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-16g+8h=16,-16g+4h=48$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -16g+8h=16-இலிருந்து -16g+4h=48-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-16g+16g+8h-4h=16-48$$

16g-க்கு -16g-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -16g மற்றும் 16g ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$8h-4h=16-48$$

-4h-க்கு 8h-ஐக் கூட்டவும்.

$$4h=16-48$$

-48-க்கு 16-ஐக் கூட்டவும்.

$$4h=-32$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$h=-8$$

-4g+h=12-இல் h-க்கு -8-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக g-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-4g-8=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4g=20$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$g=-5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$g=-5,h=-8$$