{l}{4b-3a=92}{a+84=2b}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 4 b - 3 a = 92 } \\ { a + 84 = 2 b } \end{array} \right.$$

b, a-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$b=80$$

$$a=76$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$a+84-2b=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 84-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$a-2b=-84$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4b-3a=92,-2b+a=-84$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் b-ஐத் தனிப்படுத்தி b-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4b-3a=92$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3a-ஐக் கூட்டவும்.

$$4b=3a+92$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{1}{4}\left(3a+92\right)$$

3a+92-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$b=\frac{3}{4}a+23$$

பிற சமன்பாடு -2b+a=-84-இல் b-க்கு \frac{3a}{4}+23-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(\frac{3}{4}a+23\right)+a=-84$$

\frac{3a}{4}+23-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{3}{2}a-46+a=-84$$

a-க்கு -\frac{3a}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{2}a-46=-84$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 46-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{2}a=-38$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$a=76$$

b=\frac{3}{4}a+23-இல் a-க்கு 76-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக b-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$b=\frac{3}{4}\times 76+23$$

76-ஐ \frac{3}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$b=57+23$$

57-க்கு 23-ஐக் கூட்டவும்.

$$b=80$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$b=80,a=76$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$a+84-2b=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 84-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$a-2b=-84$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4b-3a=92,-2b+a=-84$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}92\\-84\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}92\\-84\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}92\\-84\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}92\\-84\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}92\\-84\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}92\\-84\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 92-\frac{3}{2}\left(-84\right)\\-92-2\left(-84\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\76\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் b மற்றும் a-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$b=80,a=76$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$a+84-2b=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 84-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$a-2b=-84$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4b-3a=92,-2b+a=-84$$

4b மற்றும் -2b-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-2\times 4b-2\left(-3\right)a=-2\times 92,4\left(-2\right)b+4a=4\left(-84\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-8b+6a=-184,-8b+4a=-336$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -8b+6a=-184-இலிருந்து -8b+4a=-336-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-8b+8b+6a-4a=-184+336$$

8b-க்கு -8b-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -8b மற்றும் 8b ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$6a-4a=-184+336$$

-4a-க்கு 6a-ஐக் கூட்டவும்.

$$2a=-184+336$$

336-க்கு -184-ஐக் கூட்டவும்.

$$2a=152$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=76$$

-2b+a=-84-இல் a-க்கு 76-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக b-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2b+76=-84$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 76-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2b=-160$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=80$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$b=80,a=76$$