{l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

a_1, d-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a_{1}-ஐத் தனிப்படுத்தி a_{1}-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4a_{1}+6d=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6d-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4a_{1}=-6d+3$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

-6d+3-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

பிற சமன்பாடு 3a_{1}+21d=4-இல் a_{1}-க்கு -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

-\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

21d-க்கு -\frac{9d}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{9}{4}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{33}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$d=\frac{7}{66}$$

a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}-இல் d-க்கு \frac{7}{66}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a_{1}-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{7}{66}-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{7}{44} உடன் \frac{3}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a_{1} மற்றும் d-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

4a_{1} மற்றும் 3a_{1}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12a_{1}+18d=9-இலிருந்து 12a_{1}+84d=16-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

-12a_{1}-க்கு 12a_{1}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12a_{1} மற்றும் -12a_{1} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$18d-84d=9-16$$

-84d-க்கு 18d-ஐக் கூட்டவும்.

$$-66d=9-16$$

-16-க்கு 9-ஐக் கூட்டவும்.

$$-66d=-7$$

இரு பக்கங்களையும் -66-ஆல் வகுக்கவும்.

$$d=\frac{7}{66}$$

3a_{1}+21d=4-இல் d-க்கு \frac{7}{66}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a_{1}-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

\frac{7}{66}-ஐ 21 முறை பெருக்கவும்.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{49}{22}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$