{l}{4=3A-9D}{2=8A-8D}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

A, D-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$3A-9D=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$8A-8D=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் A-ஐத் தனிப்படுத்தி A-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3A-9D=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 9D-ஐக் கூட்டவும்.

$$3A=9D+4$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

9D+4-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

பிற சமன்பாடு 8A-8D=2-இல் A-க்கு 3D+\frac{4}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

3D+\frac{4}{3}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

-8D-க்கு 24D-ஐக் கூட்டவும்.

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{32}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$16D=-\frac{26}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் 16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$D=-\frac{13}{24}$$

A=3D+\frac{4}{3}-இல் D-க்கு -\frac{13}{24}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக A-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

-\frac{13}{24}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{13}{8} உடன் \frac{4}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$A=-\frac{7}{24}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$3A-9D=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$8A-8D=2$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் A மற்றும் D-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$3A-9D=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$8A-8D=2$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

3A மற்றும் 8A-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 8-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 24A-72D=32-இலிருந்து 24A-24D=6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

-24A-க்கு 24A-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 24A மற்றும் -24A ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-72D+24D=32-6$$

24D-க்கு -72D-ஐக் கூட்டவும்.

$$-48D=32-6$$

-6-க்கு 32-ஐக் கூட்டவும்.

$$-48D=26$$

இரு பக்கங்களையும் -48-ஆல் வகுக்கவும்.

$$D=-\frac{13}{24}$$

8A-8D=2-இல் D-க்கு -\frac{13}{24}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக A-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

-\frac{13}{24}-ஐ -8 முறை பெருக்கவும்.

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{13}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8A=-\frac{7}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$A=-\frac{7}{24}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$