{l}{3y+3x=24}{6y+3x=39}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 3 x = 24 } \\ { 6 y + 3 x = 39 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3y+3x=24,6y+3x=39$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3y+3x=24$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y=-3x+24$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{3}\left(-3x+24\right)$$

-3x+24-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-x+8$$

பிற சமன்பாடு 6y+3x=39-இல் y-க்கு -x+8-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(-x+8\right)+3x=39$$

-x+8-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$-6x+48+3x=39$$

3x-க்கு -6x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3x+48=39$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 48-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x=-9$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

y=-x+8-இல் x-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-3+8$$

-3-க்கு 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=5,x=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3y+3x=24,6y+3x=39$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-3\times 6}&-\frac{3}{3\times 3-3\times 6}\\-\frac{6}{3\times 3-3\times 6}&\frac{3}{3\times 3-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 24+\frac{1}{3}\times 39\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{1}{3}\times 39\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=5,x=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3y+3x=24,6y+3x=39$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3y+3x=24-இலிருந்து 6y+3x=39-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-6y+3x-3x=24-39$$

-3x-க்கு 3x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3x மற்றும் -3x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$3y-6y=24-39$$

-6y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3y=24-39$$

-39-க்கு 24-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3y=-15$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

6y+3x=39-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6\times 5+3x=39$$

5-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$30+3x=39$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 30-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=9$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=5,x=3$$