{l}{3y+2x=75}{x+y=50}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=75$$

$$y=-25$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3y+2x=75$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y=-2x+75$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

-2x+75-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

பிற சமன்பாடு y+x=50-இல் y-க்கு -\frac{2x}{3}+25-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

x-க்கு -\frac{2x}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 25-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{3}x=25$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=75$$

y=-\frac{2}{3}x+25-இல் x-க்கு 75-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

75-ஐ -\frac{2}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-50+25$$

-50-க்கு 25-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=-25$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-25,x=75$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=-25,x=75$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

3y மற்றும் y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3y+2x=75-இலிருந்து 3y+3x=150-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

-3y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3y மற்றும் -3y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2x-3x=75-150$$

-3x-க்கு 2x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-x=75-150$$

-150-க்கு 75-ஐக் கூட்டவும்.

$$-x=-75$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=75$$

y+x=50-இல் x-க்கு 75-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y+75=50$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 75-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=-25$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-25,x=75$$