{l}{3x-y=19}{4x+3y=12}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 19 } \\ { 4 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{69}{13} = 5\frac{4}{13} \approx 5.307692308$$

$$y = -\frac{40}{13} = -3\frac{1}{13} \approx -3.076923077$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x-y=19,4x+3y=12$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x-y=19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=y+19$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+19\right)$$

y+19-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}$$

பிற சமன்பாடு 4x+3y=12-இல் x-க்கு \frac{19+y}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}\right)+3y=12$$

\frac{19+y}{3}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{4}{3}y+\frac{76}{3}+3y=12$$

3y-க்கு \frac{4y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{13}{3}y+\frac{76}{3}=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{76}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{13}{3}y=-\frac{40}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{13}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{40}{13}$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}-இல் y-க்கு -\frac{40}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{40}{13}\right)+\frac{19}{3}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{40}{13}-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{40}{39}+\frac{19}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{40}{39} உடன் \frac{19}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{69}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{69}{13},y=-\frac{40}{13}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-y=19,4x+3y=12$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\4&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\12\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\12\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{4}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\12\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 19+\frac{1}{13}\times 12\\-\frac{4}{13}\times 19+\frac{3}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{69}{13}\\-\frac{40}{13}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{69}{13},y=-\frac{40}{13}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x-y=19,4x+3y=12$$

3x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 3x+4\left(-1\right)y=4\times 19,3\times 4x+3\times 3y=3\times 12$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12x-4y=76,12x+9y=36$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12x-4y=76-இலிருந்து 12x+9y=36-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12x-12x-4y-9y=76-36$$

-12x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12x மற்றும் -12x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-4y-9y=76-36$$

-9y-க்கு -4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13y=76-36$$

-36-க்கு 76-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13y=40$$

இரு பக்கங்களையும் -13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{40}{13}$$

4x+3y=12-இல் y-க்கு -\frac{40}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x+3\left(-\frac{40}{13}\right)=12$$

-\frac{40}{13}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$4x-\frac{120}{13}=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{120}{13}-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=\frac{276}{13}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{69}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{69}{13},y=-\frac{40}{13}$$