{l}{3x+5y=35}{6x-4y=-28}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 35 } \\ { 6 x - 4 y = - 28 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=0$$

$$y=7$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+5y=35,6x-4y=-28$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+5y=35$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-5y+35$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+35\right)$$

-5y+35-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{35}{3}$$

பிற சமன்பாடு 6x-4y=-28-இல் x-க்கு \frac{-5y+35}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(-\frac{5}{3}y+\frac{35}{3}\right)-4y=-28$$

\frac{-5y+35}{3}-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$-10y+70-4y=-28$$

-4y-க்கு -10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-14y+70=-28$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 70-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-14y=-98$$

இரு பக்கங்களையும் -14-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=7$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{35}{3}-இல் y-க்கு 7-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{3}\times 7+\frac{35}{3}$$

7-ஐ -\frac{5}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-35+35}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{35}{3} உடன் \frac{35}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=7$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+5y=35,6x-4y=-28$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-5\times 6}&-\frac{5}{3\left(-4\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-4\right)-5\times 6}&\frac{3}{3\left(-4\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{5}{42}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 35+\frac{5}{42}\left(-28\right)\\\frac{1}{7}\times 35-\frac{1}{14}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=0,y=7$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+5y=35,6x-4y=-28$$

3x மற்றும் 6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6\times 3x+6\times 5y=6\times 35,3\times 6x+3\left(-4\right)y=3\left(-28\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$18x+30y=210,18x-12y=-84$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 18x+30y=210-இலிருந்து 18x-12y=-84-ஐக் கழிக்கவும்.

$$18x-18x+30y+12y=210+84$$

-18x-க்கு 18x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 18x மற்றும் -18x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$30y+12y=210+84$$

12y-க்கு 30y-ஐக் கூட்டவும்.

$$42y=210+84$$

84-க்கு 210-ஐக் கூட்டவும்.

$$42y=294$$

இரு பக்கங்களையும் 42-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=7$$

6x-4y=-28-இல் y-க்கு 7-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6x-4\times 7=-28$$

7-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$6x-28=-28$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 28-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=0$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=7$$