{l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 22x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-5x+2y+22x=0$$

-5x மற்றும் 22x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 17x.

$$17x+2y=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+5y=-24$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-5y-24$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

-5y-24-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

பிற சமன்பாடு 17x+2y=0-இல் x-க்கு -\frac{5y}{3}-8-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

-\frac{5y}{3}-8-ஐ 17 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

2y-க்கு -\frac{85y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 136-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{79}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{408}{79}$$

x=-\frac{5}{3}y-8-இல் y-க்கு -\frac{408}{79}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{408}{79}-ஐ -\frac{5}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

\frac{680}{79}-க்கு -8-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{48}{79}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 22x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-5x+2y+22x=0$$

-5x மற்றும் 22x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 17x.

$$17x+2y=0$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 22x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-5x+2y+22x=0$$

-5x மற்றும் 22x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 17x.

$$17x+2y=0$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

3x மற்றும் 17x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 17-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 51x+85y=-408-இலிருந்து 51x+6y=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

-51x-க்கு 51x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 51x மற்றும் -51x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$85y-6y=-408$$

-6y-க்கு 85y-ஐக் கூட்டவும்.

$$79y=-408$$

இரு பக்கங்களையும் 79-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{408}{79}$$

17x+2y=0-இல் y-க்கு -\frac{408}{79}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

-\frac{408}{79}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{816}{79}-ஐக் கூட்டவும்.

$$17x=\frac{816}{79}$$

இரு பக்கங்களையும் 17-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{48}{79}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$