{l}{3x+4y=1}{4x+y=2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 4 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{7}{13}\approx 0.538461538$$

$$y=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+4y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-4y+1$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

-4y+1-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

பிற சமன்பாடு 4x+y=2-இல் x-க்கு \frac{-4y+1}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+y=2$$

\frac{-4y+1}{3}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{4}{3}+y=2$$

y-க்கு -\frac{16y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{4}{3}=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{4}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{13}{3}y=\frac{2}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{13}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{2}{13}$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}-இல் y-க்கு -\frac{2}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{2}{13}\right)+\frac{1}{3}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{2}{13}-ஐ -\frac{4}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{8}{39}+\frac{1}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{8}{39} உடன் \frac{1}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{7}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 4}&-\frac{4}{3-4\times 4}\\-\frac{4}{3-4\times 4}&\frac{3}{3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}+\frac{4}{13}\times 2\\\frac{4}{13}-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\\-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

3x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 3x+4\times 4y=4,3\times 4x+3y=3\times 2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12x+16y=4,12x+3y=6$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12x+16y=4-இலிருந்து 12x+3y=6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12x-12x+16y-3y=4-6$$

-12x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12x மற்றும் -12x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$16y-3y=4-6$$

-3y-க்கு 16y-ஐக் கூட்டவும்.

$$13y=4-6$$

-6-க்கு 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$13y=-2$$

இரு பக்கங்களையும் 13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{2}{13}$$

4x+y=2-இல் y-க்கு -\frac{2}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x-\frac{2}{13}=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{2}{13}-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=\frac{28}{13}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{7}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$