{l}{3w-2z=5}{w+2z=15}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

w, z-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$z=5$$

$$w=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் w-ஐத் தனிப்படுத்தி w-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3w-2z=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2z-ஐக் கூட்டவும்.

$$3w=2z+5$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

2z+5-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

பிற சமன்பாடு w+2z=15-இல் w-க்கு \frac{2z+5}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

2z-க்கு \frac{2z}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{5}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{8}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$z=5$$

w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}-இல் z-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக w-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

5-ஐ \frac{2}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{10}{3} உடன் \frac{5}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$w=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$w=5,z=5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் w மற்றும் z-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$w=5,z=5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

3w மற்றும் w-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3w-2z=5-இலிருந்து 3w+6z=45-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

-3w-க்கு 3w-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3w மற்றும் -3w ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-2z-6z=5-45$$

-6z-க்கு -2z-ஐக் கூட்டவும்.

$$-8z=5-45$$

-45-க்கு 5-ஐக் கூட்டவும்.

$$-8z=-40$$

இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$z=5$$

w+2z=15-இல் z-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக w-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$w+2\times 5=15$$

5-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$w+10=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10-ஐக் கழிக்கவும்.

$$w=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$w=5,z=5$$